Gabarito disponível
Considere os polinômios
Q(x) = x² − 2x + 1 e P(x) = x³ − 3x² − ax + b, sendo a e b números reais tais que a² − b² = −8
Se os gráficos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum que pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO afirmar sobre as raízes de P(x) que
Q(x) = x² − 2x + 1 e P(x) = x³ − 3x² − ax + b, sendo a e b números reais tais que a² − b² = −8
Se os gráficos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum que pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO afirmar sobre as raízes de P(x) que
Resolução comentada
As raízes de P são −1, 1 e 3, então nem todas são naturais.
Q(x) = (x−1)² tem raiz 1, então P(1) = 0, o que dá b = a + 2. Com a² − b² = −8, obtemos a = 1 e b = 3. Assim P(x) = x³ − 3x² − x + 3 = (x−3)(x−1)(x+1), de raízes −1, 1 e 3. Como −1 não é natural, a afirmação B é incorreta.
Análise das alternativas
A: verdadeira, pois −1, 1, 3 formam PA de razão 2. C: verdadeira, pois a = 1 e b = 3 são raízes. D: verdadeira, pois 1 e −1 são simétricos.
Referência: Polinômios: raízes e relações entre coeficientes.
Resolução comentada do VaiConcursos.