Gabarito disponível
Sabendo que o número complexo i (sendo i a unidade imaginária) é raiz do polinômio p(x)=x⁵-2x⁴-x+2, podemos afirmar que p(x) tem
Resolução comentada
Fatorando p(x) obtêm-se as raízes 2, 1, -1, i e -i.
Fatorando por agrupamento: x⁵-2x⁴-x+2 = x⁴(x-2)-(x-2) = (x-2)(x⁴-1) = (x-2)(x-1)(x+1)(x²+1). As raízes são 2, 1, -1, i e -i. Logo há duas raízes complexas (i e -i) e três raízes inteiras (2, 1 e -1).
Análise das alternativas
A: i não é raiz dupla e não há raízes irracionais. B: as três raízes reais são inteiras, não irracionais. C: há duas raízes complexas, e não uma, e só três reais. E: todas as cinco raízes são simples.
Referência: Teorema das raízes complexas conjugadas e fatoração de polinômios.
Resolução comentada do VaiConcursos.