Gabarito disponível
Seja p o polinômio dado por p(x) = x⁸ + xᵐ − 2xⁿ, em que os expoentes 8, m, n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a 14. Considere as seguintes afirmações:
I. x = 0 é uma raiz dupla de p.
II. x = 1 é uma raiz dupla de p.
III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula.
Destas, é (são) verdadeira(s)
I. x = 0 é uma raiz dupla de p.
II. x = 1 é uma raiz dupla de p.
III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula.
Destas, é (são) verdadeira(s)
Resolução comentada
PG 8, 4, 2: p(x) = x²(x⁶ + x² − 2).
Com razão q: 8(1+q+q²) = 14 dá q = 1/2, logo m = 4 e n = 2 (q = −3/2 daria expoentes negativos). Então p = x⁸ + x⁴ − 2x² = x²(x²−1)(x⁴+x²+2). I é verdadeira (fator x²). II é falsa: x = 1 é raiz simples, pois g(x) = x⁶ + x² − 2 tem g′(1) = 8 ≠ 0. III é verdadeira: x⁴ + x² + 2 tem discriminante negativo em y = x² e dá 4 raízes não reais.
Análise das alternativas
A omite III, que é verdadeira. B e D e E incluem II, que é falsa porque x = 1 é raiz simples.
Referência: Progressão geométrica; raízes e multiplicidade de polinômios.
Resolução comentada do VaiConcursos.