Gabarito disponível
Os ângulos θ₁, θ₂, θ₃, ⋯, θ₁₀₀ são os termos de uma progressão aritmética na qual θ₁₁ + θ₂₆ + θ₇₅ + θ₉₀ = π/4. O valor de sen(∑ᵢ₌₁¹⁰⁰ θᵢ) é:
Resolução comentada
Em uma PA, termos equidistantes dos extremos têm a mesma soma.
Como 11+90 = 26+75 = 1+100 = 101, cada par soma θ₁+θ₁₀₀. Então 2(θ₁+θ₁₀₀) = π/4, ou seja, θ₁+θ₁₀₀ = π/8. A soma dos 100 termos é 50·π/8 = 25π/4 = 6π + π/4, e sen(π/4) = √2/2.
Análise das alternativas
A) −1, B) −√2/2, C) 0 e E) 1 correspondem a outros arcos (3π/2, 5π/4, 0 ou π/2, π/2), que não coincidem com 25π/4. Só D bate com o arco côngruo a π/4.
Referência: Progressão aritmética: soma dos termos e propriedade dos termos equidistantes.
Resolução comentada do VaiConcursos.