Gabarito disponível
Os alunos do 6º ano de uma escola resolveram fazer uma apresentação artística durante a Feira Cultural de sua escola. Para isso, eles resolveram se organizar em grupos. Porém, quando eles se dividiam em grupos de 3 alunos, 2 alunos sobravam. Quando eles se dividiam em grupos de 5 alunos, 2 alunos sobravam também.
Como ninguém queria ficar de fora da apresentação, eles resolveram convidar mais alguns colegas de modo que, na hora de formar os grupos, não sobrasse ninguém. Independentemente do número de alunos do 6º ano dessa escola, qual o menor número de alunos que eles devem convidar para participar da apresentação a fim de que não sobre ninguém quando da formação dos grupos com 3 ou 5 alunos cada?
Como ninguém queria ficar de fora da apresentação, eles resolveram convidar mais alguns colegas de modo que, na hora de formar os grupos, não sobrasse ninguém. Independentemente do número de alunos do 6º ano dessa escola, qual o menor número de alunos que eles devem convidar para participar da apresentação a fim de que não sobre ninguém quando da formação dos grupos com 3 ou 5 alunos cada?
Resolução comentada
Número n ≡ 2 (mod 3) e (mod 5), então n ≡ 2 (mod 15); falta 13 para o próximo múltiplo de 15.
Os restos 2 na divisão por 3 e por 5 indicam n = 15k + 2. Para que não sobre ninguém em grupos de 3 ou de 5, o total deve ser múltiplo de 15. Faltam 15 − 2 = 13 alunos, e isso vale para qualquer k.
Análise das alternativas
B) 15 deixaria n+15 ≡ 2 (mod 15). C) 17 deixaria resto 4. D) 30 deixaria resto 2. E) 32 deixaria resto 4. Só 13 completa o múltiplo de 15.
Referência: MMC e restos
Resolução comentada do VaiConcursos.