Gabarito disponível
Seja um triângulo acutângulo (ângulos internos menores que 90°) ABC, onde seu perímetro 2p=a+b+c. Se 8p(p - c) = a.b, qual das alternativas abaixo corresponde ao valor de K, sabendo que K = (tg ĉ)/(sen ĉ) − 4.cos ĉ ?
Resolução comentada
Cálculo de K com a relação 8p(p−c)=ab.
Como 2p = a+b+c, tem-se 8p(p−c) = 2[(a+b)²−c²] = ab, logo c² = a²+b²+(3/2)ab. Pela lei dos cossenos, cos C = −3/4. Então K = 1/cos C − 4cos C = −4/3 + 3 = 5/3 = 20/12.
Análise das alternativas
As demais alternativas (1/2, 5/2, 18/12, 15/12) não resultam de K = 1/cos C − 4cos C com cos C = −3/4. Observação: o valor cos C = −3/4 implica um ângulo obtuso, o que contradiz 'acutângulo' no enunciado, mas o gabarito segue esse cálculo.
Referência: Lei dos cossenos e relações trigonométricas básicas.
Resolução comentada do VaiConcursos.