Gabarito disponível
Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Seja p(x) = x³ + ax² + bx um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a 10, podemos afirmar que a soma das raízes de p(x) é igual a
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Seja p(x) = x³ + ax² + bx um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a 10, podemos afirmar que a soma das raízes de p(x) é igual a
Resolução comentada
Raízes em PA não negativas de x³+ax²+bx, com soma dos coeficientes 10; soma das raízes = 9.
Como não há termo independente, 0 é raiz. Sendo as raízes não negativas e em PA, elas são 0, r e 2r. Por Girard, a = −3r e b = 2r². A soma dos coeficientes é 1+a+b = 10, logo 2r² − 3r − 9 = 0, o que dá r = 3 (a outra solução é negativa). A soma das raízes é 3r = 9.
Análise das alternativas
B, C, D e E não resultam da condição 1+a+b=10: com r=3 as raízes são 0, 3 e 6, e a soma é 9, não 8, 3, 9/2 nem 10.
Referência: Relações de Girard; progressão aritmética
Resolução comentada do VaiConcursos.