Gabarito disponível
Seja α ∈ ℝ e z₁, z₂, z₃ números complexos tais que |z₁| = |z₂| = |z₃| = 4 e z₁ ≠ z₂. O menor valor de |αz₁ − (α − 1)z₂ − z₃|, é:
Resolução comentada
A expressão é a distância de z₃ à reta que passa por z₁ e z₂; com circunradius 4, vale |z₃−z₁||z₃−z₂|/8.
αz₁ − (α−1)z₂ = z₂ + α(z₁−z₂) percorre a reta por z₁ e z₂. O mínimo de |...−z₃| é a distância h de z₃ a essa reta. Os três pontos estão na circunferência de raio R = 4, então a área do triângulo é abc/(4R) = |z₁−z₂||z₃−z₁||z₃−z₂|/16 = ½|z₁−z₂|h. Logo h = |z₃−z₁||z₃−z₂|/8.
Análise das alternativas
A, B, D e E não representam a distância de z₃ à reta z₁z₂ (por exemplo, E, |z₃|, é a distância à origem).
Referência: Números complexos e geometria; área do triângulo por abc/4R.
Resolução comentada do VaiConcursos.