Gabarito disponível
Seja a equação 2sen²(e^θ) − 4√3sen(e^θ)cos(e^θ) − cos(2e^θ) = 1, θ ∈ ℝ⁺. O menor valor de θ que é raiz da equação é:
Resolução comentada
Reduzir a equação a tan(2u) = −1/√3 com u = e^θ.
Com u = e^θ, 2sen²u = 1 − cos2u e 2sen u cos u = sen2u. A equação vira 1 − cos2u − 2√3·sen2u − cos2u = 1, ou seja, cos2u + √3·sen2u = 0, logo tan2u = −1/√3. Então 2u = −π/6 + kπ e u = −π/12 + kπ/2. O menor u positivo é 5π/12 (k = 1), e θ = ln(5π/12).
Análise das alternativas
ln(π/6), ln(π/3), ln(5π/6) e ln(π/12) não pertencem à família u = −π/12 + kπ/2 (por exemplo, π/12 e π/6 não são dessa forma) e, portanto, não são raízes. A correta é E.
Referência: Trigonometria: arco duplo e equação do tipo a·cos x + b·sen x = 0.
Resolução comentada do VaiConcursos.