Gabarito disponível
Considere as equações:
(I) x² − bx + 15 = 0 (b ∈ IR) cujas raízes são os números reais α e β (α < β)
(II) x² + kx + 15 = 0 (k ∈ IR)
Sabe-se que as raízes da equação (I) são, cada uma, 8 unidades menores do que as raízes da equação (II)
Com base nessas informações, marque a opção correta.
(I) x² − bx + 15 = 0 (b ∈ IR) cujas raízes são os números reais α e β (α < β)
(II) x² + kx + 15 = 0 (k ∈ IR)
Sabe-se que as raízes da equação (I) são, cada uma, 8 unidades menores do que as raízes da equação (II)
Com base nessas informações, marque a opção correta.
Resolução comentada
Relações de Girard com raízes deslocadas em 8 unidades.
As raízes de (II) são α+8 e β+8, e o produto delas é 15. Logo αβ + 8(α+β) + 64 = 15. Como αβ = 15 e α+β = b, obtém-se b = −8. Então α = −5 e β = −3, e as raízes de (II) são 3 e 5, com k = −8. Assim b³ − k = −512 + 8 = −504, que é negativo.
Análise das alternativas
B) |α−β| = 2, não 1. C) As raízes de (II) são 3 e 5, ambas primas. D) α²−β² = 25−9 = 16, que não divide 8.
Referência: Equação do 2º grau: soma e produto das raízes.
Resolução comentada do VaiConcursos.